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Comment Calculer 23 Au Carré Très Vite Mentalement ?

Nuage Blanc
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49 ans (H)
Belgique
Tuesday 04 September 2007 à 21:24
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23 au carré, 55 au carré, 31 au carré, etc... Vous avez une idée ? Comment donner très vite le carré de nombres à 2 chiffres, sans papier ni calculette ?

Prenons 23 au carré comme exemple.



Ce message a été modifié par Nuage Blanc - Tuesday 04 September 2007 à 21:34.
Le periannath
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34 ans (H)
France (75)
Tuesday 04 September 2007 à 21:30
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En multipliant le nombre par ses dizaines puis ses unités et en additionant le tout.

232 = 23x(20+3) = 460+69 = 529

Le compte est bon.



Ce message a été modifié par Le periannath - Tuesday 04 September 2007 à 21:44.
Nuage Blanc
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49 ans (H)
Belgique
Tuesday 04 September 2007 à 21:43
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Le periannath
Tuesday 04 September 2007 à 21:30
En multipliant le nombre par ses dizaines puis ses unités et en additionant le tout.

232 = 23x(20+3) = 460+69 = 529




C'est une possibilité, effectivement. Mais il y a des cas, comme 69 au carré, où ce n'est pas du tout évident : 69.(60+9) = 69.60 + 69.9 = ???

Je connais une méthode bien plus simple...

Un indice : 3600 + 81 + 1080 = 4761

Le periannath
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34 ans (H)
France (75)
Tuesday 04 September 2007 à 21:53
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D'accord ca me revient, la vieille formule de factorisation: a2+b2+2ab=(a+b )2

10 ans après, je réalise que mon programme de terminale est un peu rouillé.


Ce message a été modifié par Le periannath - Tuesday 04 September 2007 à 21:58.
Nuage Blanc
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49 ans (H)
Belgique
Tuesday 04 September 2007 à 23:31
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Pas si rouillé que ça... wink.gif

Sinon, autre question apparentée : comment démontrer la relation ( a+b )² = a ² + b ² + 2ab de façon purement géométrique, sans utiliser l'algèbre ?

(NB : c'est la première fois que j'utilise la touche en dessous de "Escape", je viens de la découvrir smile.gif )


Ce message a été modifié par Nuage Blanc - Tuesday 04 September 2007 à 23:34.
Bergerac
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35 ans (H)
France (78)
Wednesday 05 September 2007 à 00:56
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Le periannath
Tuesday 04 September 2007 à 21:30
D'accord ca me revient, la vieille formule de factorisation: a2+b2+2ab=(a+b )2

10 ans après, je réalise que mon programme de terminale est un peu rouillé.



on apprend cela bien avant la terminale :'(
Le periannath
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34 ans (H)
France (75)
Wednesday 05 September 2007 à 01:40
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bergerac
Wednesday 05 September 2007 à 00:56
on apprend cela bien avant la terminale :'(



C'est vrai, mais c'est jusqu'à cette année que j'ai fait l'effort de retenir tout ça.
Après ca s'est rapidement étiolé.
Thomasfromparis
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37 ans (H)
France (75)
Wednesday 05 September 2007 à 13:42
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Nuage Blanc
Tuesday 04 September 2007 à 21:24
Pas si rouillé que ça... wink.gif

Sinon, autre question apparentée : comment démontrer la relation ( a+b )² = a ² + b ² + 2ab de façon purement géométrique, sans utiliser l'algèbre ?

(NB : c'est la première fois que j'utilise la touche en dessous de "Escape", je viens de la découvrir smile.gif )





C'est pas tres compliqué : tu colles quatre triangles rectangles de petit coté a et grand coté b et d'hypothénuse c par les coins, de sorte à délimiter un carré de coté c entouré des triangles.
l'aire du carré intérieur vaut c2, et aussi l'aire du grand carré ((a+b )2) moins l'aire des quatre triangles (4*a*b/2), soit
c2 = (a+b )2 - 2ab
ou encore
a2 +b2 +2ab - 2ab = c2
soit
a2+b2=c2

smile.gif



Ce message a été modifié par thomasfromparis - Wednesday 05 September 2007 à 13:45.
Time stretcher
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Wednesday 05 September 2007 à 14:21
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Ca n'a rien à voir avec le sujet initial, mais pour ce qui est du calcul des carrés, ceux qui veulent s'amuser à se la jouer devant des amis ou de la famille peuvent s'amuser à calculer les carrés consécutifs très rapidement en utilisant une feuille et en choisissant une base simple en utilisant la relation de récurrence : (x+1)² = x² + 2x+1 = x² + x + (x+1)

Par exemple, calculer tous les carrés de 1000 à 1050 en les notant sur une feuille.

1000²=1000000
1001²=1000000 + 1000 + 1001 = 1002001
1002²=1002001+1001+1002= 1004004
etc...

Ce calcul est visuellement très intuitif : il suffit d'ajouter les deux termes de la ligne précédente et le terme dont on veut calculer le carré. Je ne suis pas sûr mais je pense que dans ce cadre précis, cette tactique est plus rapide que celle que tu énonces Nuage Blanc.
C'est une opération très simple certes, mais étant donné que les gens sont généralement fâchés avec les maths, une personne capable de calculer tous les carrés consécutifs de 1000 à 1050 en un clin d'œil peut méduser pas mal de gens autour d'elle. laugh.gif
Thomasfromparis
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37 ans (H)
France (75)
Wednesday 05 September 2007 à 15:03
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time stretcher
Wednesday 05 September 2007 à 14:21
C'est une opération très simple certes, mais étant donné que les gens sont généralement fâchés avec les maths, une personne capable de calculer tous les carrés consécutifs de 1000 à 1050 en un clin d'œil peut méduser pas mal de gens autour d'elle. laugh.gif




Je suis pas sûr que ça marche à fond pour se taper des meufs, ton truc... sleep.gif

Time stretcher
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Wednesday 05 September 2007 à 15:11
Citer +Citer
Je te le concède. Mais pour passer pour un génie auprès de ta famille ou de tes amis ça peut être intéressant.
Nuage Blanc
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49 ans (H)
Belgique
Wednesday 05 September 2007 à 15:49
Citer +Citer
Oui mais là, ça ne marche pas pour calculer un carré isolé, comme 3681...

D'autre part, "ma" méthode (hum... ) n'est efficace que pour les nombres à deux chiffres, qu'on peut décomposer en un multiple de 10 et un nombre inférieur à 10...


Ce message a été modifié par Nuage Blanc - Wednesday 05 September 2007 à 15:50.
Nuage Blanc
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49 ans (H)
Belgique
Wednesday 05 September 2007 à 15:55
Citer +Citer

thomasfromparis
Wednesday 05 September 2007 à 13:42
C'est pas tres compliqué : tu colles quatre triangles rectangles de petit coté a et grand coté b et d'hypothénuse c par les coins, de sorte à délimiter un carré de coté c entouré des triangles.
l'aire du carré intérieur vaut c2, et aussi l'aire du grand carré ((a+b )2) moins l'aire des quatre triangles (4*a*b/2), soit
c2 = (a+b )2 - 2ab
ou encore
a2 +b2 +2ab - 2ab = c2
soit
a2+b2=c2

smile.gif




Je n'y avais pas pensé. Mais là il me semble que tu utilises quand même l'algèbre...

En fait si tu trace un grand carré de ( a+b ) de côté, que tu le divise en 4 parties inégales de façon à obtenir deux petits carrés respectivement de côtés a et b et deux rectangles de a x b, la démonstration me semble plus immédiate.

(désolé, je ne sais pas comment insérer un schéma).


Ce message a été modifié par Nuage Blanc - Wednesday 05 September 2007 à 15:56.
Nana40
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4 ans (F)
Etats unis
Wednesday 05 September 2007 à 15:56
Citer +Citer
I am baaaaaack (xxxx)

Ok j'utilisais une methode bien simple et effective (qd j'etais treeeees petite):

On multiplie le chiffre des disaines par le chiffre des unites 2 fois, on multiplie le chiffre des unites par lui meme une fois et le chiffre des disaines par lui meme une fois. Fais la somme du tout et voilaaaa

Ex: 31*31=?

30*30+2(1*30)+1*1=900+60+1=961


Ce message a été modifié par nana40 - Wednesday 05 September 2007 à 15:57.
Time stretcher
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Wednesday 05 September 2007 à 15:59
Citer +Citer

Nuage Blanc
Tuesday 04 September 2007 à 21:24
Oui mais là, ça ne marche pas pour calculer un carré isolé, comme 3681...

D'autre part, "ma" méthode (hum... ) n'est efficace que pour les nombres à deux chiffres, qu'on peut décomposer en un multiple de 10 et un nombre inférieur à 10...




Exact. A moins de s'armer de patience en partant de 3600 "ma" méthode n'est pas très efficace. Reste la solution du calcul mental brutal sleep.gif
Nuage Blanc
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49 ans (H)
Belgique
Wednesday 05 September 2007 à 16:02
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En fait, c'est très facile à trouver sur Internet.

Voir par exemple le site : http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Identite/Ident.htm
Time stretcher
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Wednesday 05 September 2007 à 16:03
Citer +Citer

Nuage Blanc
Tuesday 04 September 2007 à 21:24
Je n'y avais pas pensé. Mais là il me semble que tu utilises quand même l'algèbre...

En fait si tu trace un grand carré de ( a+b ) de côté, que tu le divise en 4 parties inégales de façon à obtenir deux petits carrés respectivement de côtés a et b et deux rectangles de a x b, la démonstration me semble plus immédiate.

(désolé, je ne sais pas comment insérer un schéma).




Okay. En calculant alors l'aire du carré tu obtiens le résultat voulu. Bien vu happy.gif
Nuage Blanc
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49 ans (H)
Belgique
Wednesday 05 September 2007 à 16:05
Citer +Citer

nana40
Wednesday 05 September 2007 à 15:56
I am baaaaaack (xxxx)

Ok j'utilisais une methode bien simple et effective (qd j'etais treeeees petite):

On multiplie le chiffre des disaines par le chiffre des unites 2 fois, on multiplie le chiffre des unites par lui meme une fois et le chiffre des disaines par lui meme une fois. Fais la somme du tout et voilaaaa

Ex: 31*31=?

30*30+2(1*30)+1*1=900+60+1=961




Coucou ma chérie ! Tu vas bien ? bisou.gif

La méthode que tu décris est exactement la même que celle que je décris ici. smile.gif

Thomasfromparis
comrank
37 ans (H)
France (75)
Wednesday 05 September 2007 à 17:17
Citer +Citer

Nuage Blanc
Tuesday 04 September 2007 à 21:24
Je n'y avais pas pensé. Mais là il me semble que tu utilises quand même l'algèbre...

En fait si tu trace un grand carré de ( a+b ) de côté, que tu le divise en 4 parties inégales de façon à obtenir deux petits carrés respectivement de côtés a et b et deux rectangles de a x b, la démonstration me semble plus immédiate.

(désolé, je ne sais pas comment insérer un schéma).




:huh:Heuuu , tu demontres pas du tout le théorème de pythagore, là, mais seulement l'identité (a+b )2 : a2 +b2 + 2ab sleep.gif

Et je ne vois pas en quoi ma démo fait appel à l'algèbre : je developpe juste des parenthèses !



Grenouille verte
comrank
Wednesday 05 September 2007 à 19:29
Citer +Citer

Nuage Blanc
Tuesday 04 September 2007 à 21:24
Pas si rouillé que ça... wink.gif

Sinon, autre question apparentée : comment démontrer la relation ( a+b )² = a ² + b ² + 2ab de façon purement géométrique, sans utiliser l'algèbre ?

(NB : c'est la première fois que j'utilise la touche en dessous de "Escape", je viens de la découvrir smile.gif )




Tu traces un carré de coté a+b que tu découpe en 2 carré de coté a et b et deux rectangles de largeur et longueur a et b.

Il est mieux d'utiliser les rectangles plutôt que les triangles rectangles : ça évite d'utiliser un "gros" théorème comme Pythagore.

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